Bilangan dan Sistem Bilangan

🎮 Sistem Bilangan

Tujuan Pembelajaran

Setelah mengikuti pembelajaran ini, kalian diharapkan mampu:

Mengidentifikasi berbagai Sistem Bilangan (Desimal, Biner, Oktal, Heksadesimal).
Melakukan konversi antar sistem bilangan (terutama Desimal ke Biner).
Menganalisis penerapan himpunan dan sistem bilangan dalam kehidupan sehari-hari dan teknologi.
Memecahkan masalah sederhana sistem bilangan.

Materi Pembelajaran

Setelah mempelajari Fungsi dan himpunan, Mari melanjutkan belajar dua konsep penting dalam informatika: Bilangan dan Sistem Bilangan.

1. Pengantar

Kita terbiasa menghitung dengan 10 jari, sehingga wajar jika kita menggunakan sistem bilangan berbasis 10, yang kita sebut Sistem Bilangan Desimal. Sistem ini menggunakan 10 simbol angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Setiap posisi angka memiliki nilai tempat berdasarkan pangkat 10 (satuan, puluhan, ratusan, dst.).

Namun, komputer tidak memiliki jari. Komputer bekerja dengan sinyal listrik yang hanya memiliki dua kondisi: ada arus (ON) atau tidak ada arus (OFF). Kondisi ini secara alami direpresentasikan oleh dua simbol: 1 (ON) dan 0 (OFF). Inilah alasan utama komputer menggunakan Sistem Bilangan Biner (Basis 2).

Selain Biner, ada juga sistem bilangan lain yang sering digunakan dalam informatika untuk menyederhanakan representasi biner yang panjang, yaitu Sistem Bilangan Oktal (Basis 8) dan Sistem Bilangan Heksadesimal (Basis 16).

2. Sistem Bilangan

Kita sehari-hari menggunakan Sistem Bilangan Desimal (Basis 10). Namun, komputer menggunakan Sistem Bilangan Biner (Basis 2) karena bekerja dengan sinyal listrik ON (1) dan OFF (0).

a. Sistem Bilangan Desimal (Basis 10)

Simbol: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (total 10 simbol)
Contoh: 254₁₀ (kita sering tidak menuliskan basisnya jika desimal)
Nilai Tempat: Pangkat dari 10. $25 4_{10} = (2 \times 1 0^{2}) + (5 \times 1 0^{1}) + (4 \times 1 0^{0})$ $= (2 \times 100) + (5 \times 10) + (4 \times 1)$ $= 200 + 50 + 4 = 254$

b. Sistem Bilangan Biner (Basis 2)

Simbol: 0, 1 (total 2 simbol)
Contoh: 1011₂
Nilai Tempat: Pangkat dari 2. $101 1_{2} = (1 \times 2^{3}) + (0 \times 2^{2}) + (1 \times 2^{1}) + (1 \times 2^{0})$ $= (1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (1 \times 1)$ $= 8 + 0 + 2 + 1 = 1 1_{10}$

c. Sistem Bilangan Oktal (Basis 8)

Simbol: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (total 8 simbol)
Contoh: 372₈
Nilai Tempat: Pangkat dari 8. $37 2_{8} = (3 \times 8^{2}) + (7 \times 8^{1}) + (2 \times 8^{0})$ $= (3 \times 64) + (7 \times 8) + (2 \times 1)$ $= 192 + 56 + 2 = 25 0_{10}$

d. Sistem Bilangan Heksadesimal (Basis 16)

Simbol: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (total 16 simbol)
- A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15
Contoh: 1A5₁₆
Nilai Tempat: Pangkat dari 16. $1 A 5_{16} = (1 \times 1 6^{2}) + (A \times 1 6^{1}) + (5 \times 1 6^{0})$ $= (1 \times 256) + (10 \times 16) + (5 \times 1)$ $= 256 + 160 + 5 = 42 1_{10}$

3. Konversi Antar Sistem Bilangan (Dasar)

a. Konversi Biner ke Desimal:

Setiap digit biner (bit) dikalikan dengan pangkat 2 sesuai posisinya, dimulai dari 2⁰ (paling kanan).

Contoh: Konversi 1101₂ ke Desimal

1101₂ = (1 X 2³) + (1 X 2²) + (0 X 2¹) + (1 X 2⁰)

= (1 X 8) + (1 X 4) + (0 X 2) + (1 x 1)

$= 8 + 4 + 0 + 1$

$= 1 3_{10}$

b. Konversi Desimal ke Biner:

Bagi bilangan desimal dengan 2 terus-menerus dan catat sisa pembagiannya. Urutkan sisa pembagian dari bawah ke atas.

Contoh: Konversi $2 5_{10}$ ke Biner

25 $\div$ 2 = 12 sisa 1
12 $\div$ 2 = 6 sisa 0
6 $\div$ 2 = 3 sisa 0
3 $\div$ 2 = 1 sisa 1
1 $\div$ 2 = 0 sisa 1

Urutkan sisa dari bawah ke atas: $1100 1_{2}$ .

c. Konversi Biner ke Heksadesimal:

Kelompokkan digit biner menjadi kelompok 4 digit dari kanan. Jika kelompok terakhir kurang dari 4 digit, tambahkan 0 di depannya. Kemudian konversi setiap kelompok 4 digit biner ke digit heksadesimal yang sesuai.

Tabel Konversi Cepat:

Desimal	Biner	Heksadesimal
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Contoh: Konversi $1110010 1_{2}$ ke Heksadesimal

Kelompokkan 4 digit dari kanan: $11100101$
Konversi setiap kelompok:
1. 1110₂ = E₁₆
2. $010 1_{2} = 5_{16}$
Gabungkan hasilnya: $E 5_{16}$

d. Konversi Heksadesimal ke Biner

Konversi setiap digit heksadesimal ke 4 digit biner menggunakan tabel di atas.

Contoh: Konversi $3 C_{16}$ ke Biner

Konversi digit '3': $3_{16} = 001 1_{2}$
Konversi digit 'C': $C_{16} = 110 0_{2}$
Gabungkan hasilnya: $0011110 0_{2}$ (atau $11110 0_{2}$ jika angka 0 di depan tidak relevan)

4. Penerapan Sistem Bilangan dan Konversi dalam Kehidupan Sehari-hari:

a. Penghitungan Kapasitas Memori dan Ukuran File

Kamu mungkin sering melihat ukuran file dalam Kilobyte (KB), Megabyte (MB), Gigabyte (GB), atau bahkan kapasitas flashdisk dan hard drive. Tahukah kamu bahwa ini juga terkait erat dengan sistem bilangan biner?

Mengapa 1 KB bukan 1000 Byte? Secara teknis, 1 Kilobyte adalah 1024 Byte, bukan 1000 Byte. Angka 1024 ini berasal dari 2¹⁰(2 pangkat 10). Ini karena komputer bekerja dengan basis 2.
- 1 KB = 2¹⁰ Byte = 1024 Byte
- 1 MB = 2¹⁰ KB = 1024 KB = 2²⁰ Byte
- 1 GB = 2¹⁰ MB = 1024 MB = 2³⁰ Byte

b. Pembelajaran Mendalam:

Perbedaan kecil ini (1000 vs 1024) seringkali membingungkan, tetapi sepenuhnya masuk akal jika kita memahami bahwa komputer menggunakan sistem biner. Pembuat hardware sering menggunakan 1000 (basis 10) untuk iklan kapasitas karena angkanya lebih besar, tetapi sistem operasi komputer akan menghitungnya menggunakan 1024 (basis 2), sehingga kapasitas yang terlihat seringkali sedikit kurang dari yang diiklankan. Memahami ini membuatmu menjadi konsumen yang lebih cerdas dan membantumu memahami arsitektur di balik penyimpanan data.